BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI
Các bạn vừa giải bài toán “Ôtôna đã làm thế nào?”. Đây là bài toán tương tự của bài toán dân gian:
“Một người nông dân nuôi được 17 con trâu. Trước khi qua đời, ông di chúc lại cho ba người con:
- Con cả được 1/2 đàn trâu.
- Con thứ được chia 1/3 đàn trâu.
- Con út được chia 1/9 đàn trâu.
Ba người con loay hoay không biết làm thế nào để chia gia tài mà không phải xẻ thịt các con trâu. Em hãy tìm cách giúp họ”.
Có thể giải bài toán như sau:
Em đem một con trâu (nếu không có trâu thật thì dùng trâu bằng gỗ chẳng hạn) đến nhập thêm vào 17 con trâu thành một đàn 18 con trâu. Sau đó:
- Chia cho người con cả 1/2 đàn, tức là: 18 : 2 = 9 (con trâu)
- Chia cho người con thứ 1/3 đàn, tức là: 18 : 3 = 6 (con trâu)
- Chia cho người con út 1/9 đàn, tức là: 18 : 9 = 2 (con trâu)
Vậy ba người con được vừa đúng:
9 + 6 + 2 = 17 (con trâu)
Còn em lại mang con trâu của mình về.
Cách giải trên tuy hơi lạ nhưng cũng dễ hiểu: Vì 17 không chia hết cho 2, cho 3 và cho 9; nhưng khi có thêm 1 con trâu nữa thì 18 liền chia hết cho 2, 3 và 9. Nhờ thế mà chia được.
Song cái độc đáo của cách giải này lại ở chỗ khác cơ.
Nếu ta để ý thì thấy ngay
9 con trâu > 17/2 con trâu (vì18/2>17/2 )
6 con trâu > 17/3 con trâu (vì 18/3>17/3 )
2 con trâu > 17/9 con trâu (vì 18/9>17/9 )
Do đó trong cách chia trên người con nào cũng được hưởng lợi. ấy thế mà em lại không mất thêm một con trâu nào (con trâu đem đến lại dắt về). Sao kì vậy? Chỗ bí hiểm ở đây là do tổng ba phân số biểu thị các phần được
chia theo di chúc chưa bằng 1 (tức là chưa bằng cả đàn trâu), vì:
(1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (đàn trâu)
Như vậy, thật ra người cha đã chỉ di chúc chia cho các con có 17/18 đàn trâu mà thôi, còn thiếu 1/18 nữa thì mới đủ 18/18, tức là cả đàn trâu.
Thế nhưng nhờ em đem thêm 1 con trâu nữa tới nên đã chia được cho ba người con cả đàn trâu (hay đàn trâu, gồm 17 con). Do đó cả ba người con đều được chia nhiều hơn phần nêu ở di chúc nhưng em lại không tốn thêm một con trâu nào!
Thật là một bài toán độc đáo!
Phạm Đình Thực (TP Hồ Chí Minh)